从物理学出发理解电力系统

作者：邹德虎

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物理学对于工程技术的重要性是不言而喻的。下面我从电气行业工程师的角度出发，谈一谈为什么要学好物理。首先是概述并推荐费曼物理学。然后通过几个简单的实例说明物理在电力系统的应用，这些例子即使是电力行业的专家，也未必能做到100%掌握。最后再通过例子说明从物理模型到数学模型的建模过程。

概述

1. 物理为工程学提供了基本的理论框架。 无论是电气、机械、土木还是化学工程，其背后的基础理论大多来自物理学。例如，输电网络的工作原理与电磁学有关；电机除了电磁学还涉及力学；考虑电力系统整体能量转换和运行过程，需要有动力学的概念，而且是非常复杂的动力学。如果物理学不好，学习工程知识也不是不可以。例如，有的工程师工作，详细步骤别人已经写好了（或者计算过程已经写到软件代码里面了），按照相关规程或装置说明按部就班调用操作就可以了，这时候不学好物理是没有关系的。但如果深入到产品核心技术研发或创新，基础理论不扎实的后果会体现出来，在解决复杂问题时会遇到困难；或者把复杂问题更加复杂化，用成本极高的解决方案掩盖问题本质。

2. 物理是工程基础装置，尤其是测量和试验检测仪器的基础。 比如说，电力系统的互感器是关键测量设备，其原理建立在电磁感应基础上。但是新型的互感器，可能用到了法拉第磁光效应。现代电力系统不仅测量电气量，而且有越来越多的非电测量，如气象环境、设备温度、导线弧垂等，涉及的物理原理就更多了。

3. 跨学科合作和技术创新需要物理学。 以电气为代表的工程是比较成熟的领域，其创新主要体现在跨学科合作方面。目前的跨学科主流是先进信息技术在电气工程的应用，但这里面也很多和物理学有关。例如，最近看到有供电公司开展了量子通信方面的科研项目。如果完全不懂量子力学，这种合作就很难取长补短、解决真正的问题，甚至有可能被“忽悠”。还有很多新能源的科技项目是跟材料物理、甚至超导物理有关的；新型储能项目，例如压缩空气、飞轮、超级电容等，每一个领域都是物理学密集的地方。

4. 物理学的思维方式对工程师非常有借鉴意义，可以帮助解决本领域的复杂工程问题。 以下的思维方式是很有用的：

   • 数学建模思维： 物理学常常通过建立数学模型来描述和预测现象，数学模型的结果需要返回物理进行验证，而不是在纯粹数学领域放飞自我（弦论可能有些放飞了）。在工程中，这种思维方式有助于将实际问题简化为可解决的数学问题，从而设计和优化系统。当然，数学建模的基础和前提一定是来自工程，计算的结果一定要回到工程应用，绝对不能空对空，制造出一个数学模型出来。
   • 定性分析和近似： 物理学常常通过简化和近似来处理复杂问题。比如说，理想质点、理想流体等等。简单问题解决好了再过渡到复杂问题。同时，物理学家有很强的定性分析和估计能力。我看过一本书《定性与半定量物理学》，介绍了守恒、量纲分析、数量级估计等一系列定性与半定量方法，很有启发。对于工程来说也是如此。普通工程师和高级工程师也许都可以解决看似非常繁杂的问题，但是遇到条件不足需要定性分析或者数量级估算，普通工程师和高手的差距一下子就拉开了。具体到电力系统学科，我发现量纲分析的概念无论是高校教学、还是工程师日常工作都不怎么重视。
   • 定量分析思维： 物理学注重定量描述和分析，比如量子力学对于电子反常磁矩值的数值计算和实验结果在小数点后13位都是完全一致的，这在自然科学中几乎都是绝无仅有的精确度。在工程中，这种思维方式有助于进行精确的计算和分析，确保系统的性能和安全。
   • 批判性和系统思维： 物理学考虑各种因素和它们之间的相互作用，也包括因果关系和逻辑推理，鼓励质疑和批判。在工程方面，这种思维方式这种思维方式有助于工程师全面考虑系统的各个部分和它们之间的关系，确保整体的协调和稳定。并且鼓励工程师对设计和决策进行批判性思考，从而避免错误和提高效率。

费曼物理学推荐

理查德·费曼（Richard Phillips Feynman，1918-1988）是20世纪最具影响力的物理学家之一。他于1965获得诺贝尔物理学奖，主要是在量子电动力学所做的基本工作。他不仅因其在物理学上的杰出贡献而闻名，还因其独特的教学方法、生动的演讲和丰富多彩的个人生活而受到广泛关注。

费曼的科普幽默而又深入浅出（在B站就可以搜到他的视频），他是一个多才多艺的人，涉猎众多。也可以认为他是量子计算机的先驱之一。晚年他在1986年参与了挑战者号航天飞机事故的调查，并直言不讳地指出了NASA的管理问题。

费曼在教学方面的影响很大，他是首位向本科一年级授课的诺贝尔奖得主；同时，也是首位在授课时使用录音设备，以便课后整理讲义的物理学家。他的讲义被整理为著名的《费曼物理学讲义》。

加州理工学院在20世纪60年代初进行教学改革，试图在普通物理学引入现代物理的最新进展，而不是整天都在与斜坡、小木块、滑轮较劲。费曼当时在加州理工任教授，他愿意承担这样的教学任务，这是破天荒的。大科学家给本科生授课，现在已经很常见了，但当时确实是第一次。

新的普通物理课程被设计为两学年，学生不仅有物理专业的，还有一半是其他专业的（比如生物）。1961年开始的第1学年，主要内容是力学、光学、热学，后来汇总为《费曼物理学讲义》第1卷。费曼讲课的时候，脖子上挂着麦克风，连接到磁带录音机，同时有人定期对黑板照相。对录音的整理工作也是教师完成的。除了费曼的主课，还有实验课、习题课，由别的老师完成。为了体现重视，助教基本都是教授。

1962年的第2学年，费曼前面大半的时间讲解电磁学（《费曼物理学讲义》第2卷）；后面讲解量子力学（《费曼物理学讲义》第3卷）。新一届的大一教学任务由别的老师执行，当时第1学年的打印稿已经初步整理出来了，老师就让学生直接读费曼的讲义，然后做扩充和应用。

这本书的出版有个小插曲：本来只想定名为“物理学”，作者是三个人，除了费曼，还有两位整理编写成书的老师。方案报给费曼时，他特别不高兴：“作者为什么写上你们的名字？你们只做了速记员的工作!”。经过协商后，为了强调费曼的绝对重要性，书名改成了《费曼物理学讲义》，作者仍是三个人。

《费曼物理学讲义》虽然是普通物理，但是深度和广度都大大超过一般的普通物理教材。据我了解，国内只有清华大学物理系的部分学生使用《费曼物理学讲义》授课。但《费曼物理学讲义》有些独有的优点，有点像大物理学家写的秘笈或者内功心法，以至于有些物理学家都来蹭费曼的课。

费曼经常从日常生活中的经验和观察开始，然后引导读者深入探究物理原理（很明显，张朝阳在学他的讲课风格，呵呵）。

费曼特别重视物理直觉和直观理解，他认为如果不能简单地解释一个概念，那么这个概念还没有被彻底理解。费曼的解释通常既深入又浅出，他能够将复杂的物理概念用简单的语言和类比来描述，使其更容易被理解。费曼经常从其他学科的角度来看待物理问题，例如从生物学、化学或哲学的角度。这使得他的讲义具有很强的跨学科性。比如说，他的讲义第一课就讲原子、分子、化学，后面几堂课又讲到了生物。这就给学生很好的兴趣引导。另外，电磁学开始就结合一个例子把麦克斯韦方程组全部列出来，而不是放到最后讲解。

费曼强调物理学的基本概念和原理，而不是过分依赖特定的数学工具或技巧。这使得他的讲义更具普遍性。他的讲义对于数学的使用是非常克制的（虽然也比较深了，包括了微积分、复变函数、场论、微分方程），但是相对于同层次的知识，别的物理书很多满页都是公式，跟数学书的差别不大了。用尽量少的数学，不代表费曼水平低，恰恰说明他能够抓住物理的本质。

《费曼物理学讲义》有长远的影响，虽然《费曼物理学讲义》主要是教学材料，但其中对一些物理学概念的深入探讨和解释也对物理学研究者产生了影响。即使在费曼去世多年后，《费曼物理学讲义》仍被视为物理学的经典之作，并在全球范围内继续被广泛阅读和引用。我国赵凯华教授的新概念物理教程、新概念高中物理读本，都有很明显的费曼风格。

《费曼物理学讲义》也是费曼学习法的典型体现。费曼学习法的主要内容是：如果你想真正理解一个概念，那么你应该能够以简单、明了的方式向一个新手解释它。通过向别人讲授，讲授者自己的思路得到整理、甚至顿悟，这就是温故而知新的道理。

费曼学习法的关键在于，真正的理解不仅仅是能够重复某个概念，而是能够用自己的语言解释它，并在需要时应用它。此外，尝试教授一个概念是检查自己是否真正理解它的一个很好的方法。费曼本人经常使用这种方法来学习和探索新的物理概念，并发现它是非常有效的。当然，如果你找不到听众，设想自己对面坐着一个人，听你讲解你的知识，也是有效的。

这方面我也有体会，十几年前读研时，同宿舍有两位室友是制冷与低温工程专业的。我经常把电力系统分析理论中最复杂的同步电机建模和暂态稳定性分析理论讲给他们听，他们似乎听的津津有味，也不知道听懂了没有。但是，我自己的收获也是很大的，经常在讲解中突然发现自己似乎懂了，但其实没懂的地方。

我发现，很多著作都是授课的讲义。例如，《论语》就是孔子与弟子们的对话录；柏拉图的著作很多都是对话形式。邓晓芒教授的《康德纯粹理性批判句读》直接就是上课录音的整理。我们电力系统专业最权威的著作之一是Kundur博士的《电力系统稳定与控制》，就是作者在多伦多大学研究生课程讲义基础上，结合大量科技项目报告形成的。为什么现在提倡科技前沿的学者承担一定的教学任务，这是有道理的。

当然，授课者的实践经验也是非常重要的。费曼在物理学前沿的大量研究和思考，这使得他的授课风格与其他老师非常不一样。对于工程学科，则要求授课者具有丰富的工程经验，例如Kundur的书都结合实际的例子来讲授，而且覆盖面很广，把工程中重要的设备都涉及到了；对于理论讨论很多，但是工程没什么应用的内容，他又恰到好处的不展开讲解。

案例1 架空线的参数规律

准确的参数是调度系统高级应用、PSASP、PSD等专业软件正确工作的前提。下面讨论架空线参数。首先假设单根分布参数传输线，假设只有电感和对地电容，可以列出偏微分方程：

$$\frac{\partial V(z, t)}{\partial z} = -L \frac{\partial I(z, t)}{\partial t}$$

$$\frac{\partial I(z, t)}{\partial z} = -C \frac{\partial V(z, t)}{\partial t}$$

式中：$z$是沿传输线的距离，$t$ 是时间，$L$ 是单位长度电感，$C$ 是单位长度电容。

可以得到波动方程：

$$\frac{\partial^2 V(z, t)}{\partial z^2} = LC \frac{\partial^2 V(z, t)}{\partial t^2}$$

得到波速：

$$v = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

波速的表达式比较重要，我们等会还会用到。

对于三相架空线，首先考虑其中单根线路，假设导体单位长度电荷为 $q$，则导线外电场场强的表达式为：

$$E = \frac{q}{2\pi \epsilon_0 x}$$

式中：$x$为导线外到导线中心的距离，$\epsilon_0$ 为真空介电常数。

则导线外两点的电势差很容易通过积分得到：

$$V = \frac{q}{2\pi \epsilon_0} \ln \left( \frac{D}{r} \right)$$

有了电势差、电荷量，求出电容就比较容易了。对于三相对称架空线，可取 $D$为三相导线间的距离，$r$为导线半径，得到正序电容：

$$C = \frac{2\pi \epsilon_0}{\ln(D/r)}$$

下面推导电感，首先考虑单相导线，电流密度在导线内部均匀分布。则导线内部磁链计算公式为：

$$\psi_1 = \int_0^r \frac{\mu I}{2\pi r^4} y^3 \, dy = \frac{\mu I}{8\pi}$$

导线外部磁链计算公式为：

$$\psi_2 = \int_{D_1}^{D_2} \frac{\mu I}{2\pi y} \, dy = \frac{\mu I}{2\pi} \ln \frac{D_2}{D_1}$$

对于三相对称架空线，可取 $D_2 = D$，也就是三相导线间的距离；比导线半径略小的长度 $b$，可得：

$$\psi = \psi_1 + \psi_2 \approx \frac{\mu I}{2\pi} \ln \frac{D}{b}$$

则有电感：

$$L \approx \frac{\mu}{2\pi} \ln \frac{D}{b}$$

把电感和电容代入波速计算公式，可得：

$$v = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mu}{2\pi} \ln \frac{D}{b} \cdot 2\pi\varepsilon_0}} \approx \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon_0}}$$

可以由麦克斯韦方程组直接推导出电磁波速等于真空光速，这里我们竟然通过电力架空线的数学模型也得到了真空光速，这是巧合吗？其实不是。要注意我们的推导忽略了三相不对称、接地线、大地对导线的影响，等等。实际的波速计算值可能比真空光速略小一些。但不管怎样，可以通过上述近似等式得到线路参数的校核方法。我们还可以通过同电压等级的电抗/电阻比得到别的校核方法。实际上，汤涌主编的《电力系统多尺度仿真与试验技术》第323页，比较了从1000kV到220kV各自不同型号的导线，计算出的波速惊人的一致。除了架空线，发电机、变压器、感应电动机等电气设备是否有自身的规律呢？其实都是有的，但这些都建立在物理知识的基础上。

案例2 转子运动方程和等面积法的量纲

电力系统分析里面，暂态稳定的等面积法是每一个学生都需要掌握的核心知识。另外，随着构网型变流器的发展，很多人希望新能源也能提供惯量、参与调频。上述知识点都与转子运动方程有关。但是，转子运动方程的量纲分析，似乎很少看到有人讨论；另外，等面积法中的加速面积、减速面积，不可能只是几何，其物理量纲到底是什么呢？

普通物理学对于转动有专门的讨论，可以得到发电机旋转部分（包括一起旋转的汽轮机或水轮机）动能为：

$$E = \frac{1}{2} J \omega_{\text{s}}^2$$

其中，$J$为转动惯量($\text{kg}\cdot\text{m}^2$)；$\omega_{\text{s}}$是机械转速($\text{rad/s}$)

假设极对数是$p$，转子电角速度为$\omega$，则有：

$$\omega_{\text{s}} = \frac{\omega}{p}$$

我们假设：

$$M=\frac{J}{p^2}\omega$$

同时有：

$$E = \frac{1}{2} J \frac{\omega^2}{p^2} = \frac{1}{2} M \omega$$

下面我们得到发电机的机械转子运动方程：

$$J \frac{d \omega_{\text{s}}}{d t} = T_m - T_e$$

左右两边同时乘以$\omega_{\text{s}}$，则可以得到：

$$J \omega \frac{1}{p^2} \frac{d \omega}{d t} = P_m - P_e$$

进一步得到：

$$M \frac{d \omega}{d t} = P_m - P_e$$

则显然$M$的量纲是$\text{J}\cdot\text{s/rad}$。 请注意方程左边是变量，并不是常量。我们在机电暂态研究中假定转速变换不大，是不变量。则相当于认为转速为常数，所以可以考虑修正，变成常量$M_c$。这也是为什么机电暂态仿真中为什么一定要假设转速变化不大，当然不止这里的转子机械部分，在电气部分同样有类似的问题。具体修正逻辑如下：

$$M_c = \frac{J}{p^2}\omega_0$$

用$M_c$代替$M$，当系统在扰动后出现不平衡功率，则积分后得到：

$$\begin{aligned} \int (P_m - P_e) \, d\delta &= \int (P_m - P_e) \omega\, dt \\ &\approx M \omega_0\int \frac{d \omega}{d t} \, dt \\ &\approx \omega_0 M_c \Delta \omega = \omega_0\Delta E \end{aligned}$$

上面的推导就是等面积法的加速/减速面积，重点是看一看量纲。显然，$M_c$的量纲是$\text{J}\cdot\text{s/rad}$，假设我们只是把$\omega_0$当成无量纲的系数，则等面积法的加速/减速面积可以近似看成是能量乘以系数。然而，这里的能量是一种“虚拟能量”，与物理学中真实的能量有所不同，实际上更接近于李雅普诺夫稳定理论中的“能量”概念。换句话说，等面积法可以视为发电机功角暂态过渡过程中，能量守恒规律的一种表现形式（即功角摇摆过程）。

有人可能会认为我这是在进行“公式游戏”，绕了一圈后又回到了原点。但我认为这种分析是有意义的。仔细观察可以发现，我的推导与教科书中的推导有所不同，同时也揭示了发电机机电暂态模型的某些局限性。比如，当频率从50Hz降低到49.5Hz时，$M$也随之降低，这在物理意义上是不能忽略的。因此，严格来说，面积并不完全等同于能量，其中确实存在一定的误差。

顺带提一下，我在之前的文章中也提到，分析电力系统问题时，优先使用有名值，除非确有必要，才采用标幺值。标幺值虽然便于计算，但使用过多可能会让人忽略公式和变量的物理意义，这在复杂分析中尤为需要注意。

案例3 电力系统状态估计权重的物理意义

这个案例是龚成明在南瑞时提出的，极具意义，并在“紫金论电”国际会议中进行了相关汇报。我也参与了此项目，主要负责电力系统实际数据的采集、验证及部分公式的整理。详细内容可以参考发明专利《201710545721.4 一种用于时变测量数据方差的在线估计方法》，发明人包括龚成明、邹德虎和李雷。

加权最小二乘法的目标函数如下：

$$\text{min} \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{\sigma^2_i}r_i^2$$

式中：$\sigma$是量测标准差，$r_i$是量测残差。最小二乘法的整体目标函数是无量纲的，但每一个量测的权重是有量纲的。

因为每一个量测的权重是有量纲的，所以权重（由量测标准差计算得出）本身可以视为物理量，并且可以进行估计。该专利提供了一种量测标准差的估计方法，其基本思想是通过严格的物理约束构造不变量，并利用统计学方法估计不变量的方差，进而分摊到各个量测上，从而得到量测方差/标准差的估计。

电力系统的典型不变量如下：

1. 对于母线，其注入功率的功率代数和严格为零。
2. 通过断路器联通的母线电压相等。
3. 对于电力系统环路来说，环绕一周的角度变化之和严格为零。

还可以再结合滤波，以及状态估计本身得到的残差等信息，得到更优化的方差/标准差的估计值。这项工作是非常有意思的，而且有实用意义。我通过不同电压等级的变电站实采数据证明了有效性。还可以进一步区分偏差和方差，从而识别系统误差。

从物理模型到数学模型

电力系统的复杂性决定了其建模过程的多层次结构，从底层的物理模型到高层的数学模型，这一过程逐渐抽象化。存在以下三种层次的模型：

1. 物理模型，物理模型是所有电力系统建模的基础，其核心是电磁场理论和力学理论。这一层次关注物理量的细节，例如电场、磁场、功率、能量等，依赖经典的物理学定律，如麦克斯韦方程组、旋转刚体的力学方程，等等。对于工程师来说，这层模型帮助理解电力设备的本质特性和潜在问题，例如损耗、过热或短路等现象。然而，过于专注物理细节可能导致系统整体视角的丧失，因此，物理模型主要用于设备级别的分析，而不一定是系统级别的最佳工具。
2. 电路/磁路模型，这是系统级分析的有效工具。在电路/磁路模型层次上，我们放弃了对物理现象的微观细节描述，而更加关注设备的端口特性及其在整个电力系统中的功能。此层模型是大部分电力系统工程师主要工作领域。这一层次的模型在电力系统的实际工程应用中极为重要，是电网规划和运行调度的主要工具。
3. 数学模型，在电路/磁路模型基础上，应用高阶数学工具（如线性代数、优化理论、泛函分析等）得到理论性更强的结论。这类模型用于解决最优调度、稳定性分析等复杂问题​。例如，电力系统的稳定性分析可以通过对微分代数方程进行仿真和详细分析来完成，而这些方程往往建立在物理现象和电路模型的基础上​​。不过，过于强调数学模型的普适性和复杂性，可能会导致失去物理意义的困境。特别是在学术研究中，这种倾向较为明显，学者往往追求理论上的普适性，而忽略了具体工程的应用需求​。

在实际工作中，过于强调理论或物理细节都可能会导致简单问题复杂化。首先，过分重视数学模型的普适性，忽视了物理的具体性，会使得模型的结果虽然理论上完美，却在现实应用中缺乏可操作性​。其次，过分关注物理细节而忽视系统整体性能的理解，则可能导致工程师陷入局部优化的陷阱，而无法解决系统级的优化和控制问题​。工程中，采用何种程度的模型，需要根据需求和场景，具体问题具体分析。

通常来说，物理模型主要用于设备制造商，应用于设备的物理现象建模与分析，如发电机电磁场分析、变压器的磁滞损耗计算、IGBT的瞬态过程等。电路/磁路模型主要用于电网规划和运行部门，处理电网实际工程中的问题，如潮流分析、保护算法与整定等。数学模型主要用于学术机构和电力系统自动化系统开发单位，用于理论研究和系统优化，如经济调度、稳定性分析和优化算法的设计。

下面针对架空线的电感参数分别建立三种层次的数学模型，可以获得一些有趣的体验。

对于均匀换位的三相交流架空线正序电感，有：

$$L \approx \frac{\mu}{2\pi} \ln \frac{D}{b}$$

式中：$D$是互几何均距，$b$是自几何均距。

我的一位朋友曾经提过下面的疑问：

1. 如果$D$很大,$b$很小，岂不是正序电感可以非常大？
2. 三相距离减小，则线路之间的互感加强，则为什么 计算值反而减少了？

上述公式是近似公式，要想说清楚，还得从基本的物理概念出发。如果把大地加上，意味着$D$不可能趋于极大，这个受到地球几何的约束。对于$b$来说，载流量存在上限，$b$也不会太小。事实上，超高压架空线单位长度的电抗值都差不多，一般都是在$0.27\Omega/ \text{km}$到$0.45\Omega/ \text{km}$这个范围。同时，该推导依赖于一定的前提假设，例如选择一个适当的参考点。如果想更加精确地计算电感，解析解往往不够，需要借助如有限元法等电磁场数值求解软件，并结合现场实测数据。

下面推导的重点是第2个小问题：假设三相距离减小，对线路正序电感的影响。

对于A相磁链，有：

$$\psi_A =\frac{\mu }{2\pi} (I_a \ln{\frac{1 }{r_a'}} +I_b \ln{\frac{1 }{D_{ba}}} + I_c \ln{\frac{1 }{D_{ca}}})$$

进行三相的均匀换位之后，可以得到：

$$\psi_A =\frac{\mu }{2\pi} (I_a \ln{\frac{1 }{r_a'}} +I_b \ln{\frac{1 }{D}} + I_c \ln{\frac{1 }{D}})$$

上面的式子，$I_a$体现自感的影响，$I_b$和$I_c$体现互感的影响。

对于三相交流电，假设三相是平衡的，则有：

$$I_b+I_c = -I_a$$

通过分析可以得出，当三相距离减小时，互感增大，最终导致线路正序电感的减小。这是因为互感是以负值形式加入到总电感中的。因此，关于第2个问题，三相距离减小时电感减少的现象得到了明确的解释。

如果以电路/磁路模型分析，则可以简化许多。假设架空线三相模型是对称的，则可以得到：

$$\begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} Z_s & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s & Z_m \\Z_m & Z_m & Z_s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_a \\I_b \\I_c \end{pmatrix}$$

下面通过矩阵的方式求正序、负序、零序。变换矩阵如下：

$$S= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\1 & a & a^2 \end{pmatrix}$$

其中：$a=-\frac{1 }{2}+i\frac{\sqrt{3} }{2}$

则有：

$$Z^{0,1,2} = S^{-1}Z^{a,b,c}S$$

可以得到：

$$Z_1 = Z_2 = Z_s - Z_m$$

这个结论同样是：互感是以负数合并进入正序电感，与前面的分析完全相同。

下面是第三层数学模型，可以采用一些高阶的数学工具。我们发现，$Z^{a,b,c}$是主对角元占优的对称矩阵。其特征值可以通过解析解求得。因为矩阵是对称的，其特征值会是实数，且会有两个特征值：其中一个特征值为$Z_s +2 Z_m$，另外两个特征值相等，为$Z_s - Z_m$，还可以证明，不论是使用正交矩阵还是非正交矩阵，只要进行的是相似变换，所得的对角矩阵中的特征值是不变的。唯一可能不同的是特征向量的选择方式和矩阵$S$的构造形式，但这些并不会影响最终对角矩阵的特征值。

也就是说：正负零序的解耦（对称分量变换）仅仅是三相对称系统解耦对角化的特例，确实在解耦后的阻抗数值方面具有不变性，但并不是唯一的变换方式。在电力系统中，的确存在其他的变换方式。例如，在电磁暂态仿真中，三相交流线路的模变换是一种常见的变换方式。感兴趣的读者可以自行验证不同的变换矩阵（包括复数矩阵、实数矩阵以及正交矩阵）下的效果，进一步探索这些变换方法的特性。

附录

最后讲一个彩蛋，大物理学家牛顿最著名的著作《自然哲学的数学原理》，其中最权威的中译本是商务印书馆，译者是赵振江。在译本的最后，译者写道：“感谢清华大学的梅生伟教授，多年来他支持我对牛顿的研究。另外，对清华大学电力系统国家重点实验室开放课题基金的支持，在此一并致谢”。我实在没想到电力系统的研究者，与牛顿能够拉上关系。同时，这也是清华电机系的对物理学科学史研究的贡献。冥冥中也暗示了，物理学与电力系统的密切联系。