深入理解对称分量法

作者：邹德虎

返回主页

对称分量法是电力系统分析理论的基石，也是电力系统继电保护工作者每天都在使用的基本工具。深入研究对称分量法的来龙去脉，并发现已有模型的局限性，这对于专业工程师来说是有必要的。

本文包括以下部分：

1. 介绍对称分量法的原始论文
2. 用矩阵的思路给出对称分量法的主要表达式
3. 推荐一个视频课程《电力系统接地故障保护基础导论》（王宇波主讲）
4. 针对这个课程前几讲的部分例题，给出我不同的解决思路（优先使用向量化和复数）。这可以与这个课程的讲解方法互相对照，加深对对称分量法的理解
5. 具体针对某公司说明书，指出一个针对对称分量法的典型错误理解。

本文可能不是很容易阅读，感兴趣的读者建议在纸上自己推导一遍。

1 对称分量法：历史回顾

1918 年 6 月 28 日，《应用于多相网络解法的对称坐标法》(Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks) 在美国电气工程师学会 (American Institute of the Electrical Engineers) 在新泽西州大西洋城 (Atlantic City, NJ, USA) 举行的第 34 届年会上发表。演讲结束后进行了一场讨论会，六位著名的专家就 Fortescue 贡献的不同方面进行了讨论。这篇文章和讨论后来发表在 AIEE Transactions上，并成为电气工程师的里程碑。

对称分量法的变换始于 Fortescue 在 1913 年开始的研究，该研究涉及铁路电气化应用中不平衡条件下感应电动机的运行。Slepian 参与了一些讨论，Slepian 还建议负序和正序之间的比率是“表示线路不平衡程度的更好量”。随着时间的推移，对称分量方法的重要性迅速增长，以至于设备参数（针对发电机、线路、变压器等）开始以序分量的形式提供。

论文的截图如下，总共有100多页：

题目和摘要翻译如下：

对称坐标法在多相网络解决方法中的应用

作者：C. L. FORTESCUE

引言部分对非对称共面矢量系统进行了一般性讨论，得出的结论是：它们可以用相同数量矢量的对称系统来表示，定义给定系统所需的对称系统的数量等于其自由度。回顾了一些将在论文中使用的三角定理。论文分为三个部分，建议在继续阅读第二部分之前，只阅读第一部分至公式（33）以及处理星-三角变换的部分。

第一部分讨论将非对称数组分解为对称数组。这些数字可以代表旋转矢量或算子系统。引入了一个称为序列算子的新算子，它简化了操作。推导了三相电路的公式。给出了对称坐标的星-三角变换以及功率表达式。对三相系统中的谐波进行了简短的讨论。

第二部分处理这种对称坐标法在多相电路实际应用的问题。推导出了一般公式和一些特殊情况的电路。讨论了不同类型的相位变压器。

要注意这已经是100多年的论文了。电力系统同等地位的经典论文，还包括Park变换，以及Dommel的电磁暂态仿真开山之作，等等。我特别翻译了该论文附录中记录的同时代学者与作者Fortescue的部分讨论内容（略去了纯技术推导的部分）。这些讨论，即使在百年后的今天看来，依然有参考价值。后续我打算写公众号文章，论述工程师应该如何学习、研究和应用电力系统涉及到的数学工具。

如下：

Charles F. Scott

数学和工程在各自的领域内都有其支持者和批评者。对于某些工程师而言，数学家是一个从某处开始推导出一系列结论的抽象人物；而另一方面，一个极端实用主义者可能完全依赖经验，并对他无法理解的数学不屑一顾。我们都知道，真正有价值的观点是这两者的结合，即理论与实践相辅相成。

提到具有数学性和解释性特点的论文及其与工程的关系，让我想起了我接触到的第一篇学会论文。这篇论文出现在《Electrical World》的页面中。当时我正在试验交流电，与那些仅比我多懂一点的人一起工作，许多事情对我来说仍然是神秘的。后来，William Stanley 先生的一篇关于“交流现象”的论文发表了，解开了困扰所有接触交流电的人的一个神秘现象，即电流与电压不同相位的单相现象。Stanley 先生画了一些三角形并进行了解释，这让我有了一个新的起点。我能够看懂数学解释与物理现象之间的关系，并真正理解了交流电的工作原理。稍后，我接触到了多相系统，这成为研究不平衡多相系统的基础。

这篇论文是什么？当你阅读这样的论文时，可能会认为它是由数学家写的，引导读者一步步深入公式、推导，甚至让人困惑。现在，为了说明我的观点，我想强调一点：这并不是数学家的产物，而是工程师的工作。Fortescue 先生的研究并不是从理论数学的角度进行的，而是作为一个工程师，面对不平衡多相系统的问题提出的解决方案。也许是某种传输问题或机械设备的问题，这些问题需要新的工具来解决。

因此，在研究这些问题时，Fortescue 先生发现现有的数学工具不足以解决这些问题，于是着手开发新的工具来完成工作。他的工作方式与许多工程师相似，他们首先通过实验获得直觉，然后转向数学分析，最后又回到实验中验证。这种理论与实践的交替结合，构成了工程师的工作方法，也是开创性工作的本质。我认为，这篇论文并不是一位理论数学家的作品，而是一个实用工程师的成果，他为自己开发了一种新工具，并将其贡献给了他人。

J. Slepian 在过去的18个月里，我有幸与Fortescue先生保持密切联系，并就本文中体现的思想进行了许多有趣的讨论。由于我花了很长时间来思考和消化这些想法，我想我可以被允许在这里详细阐述我的观点。

本文所给出的方法起源于在不平衡条件下考虑平衡感应电机的运行。利用这里提出的“坐标系”，可以以一种美妙的简单方式给出这些电机的理论。我认为，可以肯定地说，这种方法的实用性几乎完全局限于旋转感应电机的情况。以这种方式处理纯静态设备并没有显示出任何简化。然而，当人们考虑到几乎每一个实际的交流电路至少包含一个旋转电机（即发电机）时，这种方法的广泛应用就显得尤为重要。

这里我补充一点，对称分量法原始论文主要讨论的是电机，并没有展开讨论线路的不对称故障问题。所以该学者认为"没有处理纯静态设备"。对称分量法的生命力非常强，已经发展100多年了。

Charles L. Fortescue(作者回复)

我认为这篇论文相当简单。数学部分并不难理解，只要有耐心，任何人都能看懂。我承认，方程式的表达可能显得繁琐，但这几乎是无法避免的。问题的本质使得方程的表达变得繁杂。

Karapetoff 教授在讨论中使用了“刺激”一词。我想说的是，在这样的论文中，必然会有许多刺激灵感的来源。正如我在引言中指出的那样，许多想法并不是新的。关于对称分量三相系统的概念已经被更多或更少地使用过，但从未系统地提出过，我认为对称运算符的概念是新的。

Steinmetz 博士和 Karapetoff 教授的讨论可以称为互补的讨论。Steinmetz 博士从实用的角度讨论了本文，认为该系统具有实际应用的潜力，并将在这方面大有用途。Karapetoff 教授则从理论角度指出了n相系统的可能性。对我来说，深入探讨纯理论问题会让我感到无比的愉悦。这是一个非常迷人且前景广阔的领域，但我觉得在这篇论文中需要一些实际的理由来支持这些内容的提出。理论部分已经过于冗长，因此我认为通过实际的例子来说明是必要的。

我认为仅仅展示数学解法并不足以为论文提供正当理由，但它必须还要有一个好的实际应用。我觉得如果只是深入讨论这一有趣主题的所有理论分支，可能会让人感到费解。人们可能会问：“他到底在讨论什么？为什么要用这些费力的东西折磨我们，却不给我们一个合理的解释？”因此，我认为论文的呈现应该尽量简洁明了，为此，我省略了许多本应该在这里的解释。

2 对称分量法矩阵推导

下面给出对称分量法的主要表达式。

对称分量法是电力系统分析中用于处理不对称三相系统（例如不平衡负载、故障等）的核心方法。它的基本思想是将一个不对称的三相系统分解为三个相互独立的对称分量，分别是正序分量、负序分量和零序分量，从而便于对不对称电力系统的分析与计算。

对于一个三相不对称系统，可以通过以下公式来计算各个对称分量：

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix} \end{equation}$$

式中：

• $a = e^{j120^\circ} = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}$是三相旋转算子（即正序相位移的复数形式）。
• $V_a, V_b, V_c$为三相电压(也可以考虑换成电流)。
• $V_0, V_1, V_2$为对称分量，分别是零序、正序、负序。

通过对称分量可以计算原始的三相量，公式如下：

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

后面我们使用下面的两个变换矩阵：

$$T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix}$$

$$T^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix}$$

假设我们已经知道三相电力设备的ABC坐标阻抗矩阵为$Z^{ABC}$，我们希望转换为012坐标的阻抗矩阵$Z^{012}$，则有下面的推导过程。

首先有：

$$\begin{equation} V^{ABC} = Z^{ABC}I^{ABC} \end{equation}$$

变换得到：

$$\begin{equation} TV^{012} = Z^{ABC}TI^{012} \end{equation}$$

对两边都乘以$T^{-1}$，则有：

$$\begin{equation} V^{012} = T^{-1}Z^{ABC}TI^{012} \end{equation}$$

显然有：

$$\begin{equation} Z^{012} = T^{-1}Z^{ABC}T \end{equation}$$

对于导纳矩阵，则也有类似的公式：

$$\begin{equation} Y^{012} = T^{-1}Y^{ABC}T \end{equation}$$

假设设备的三相参数一致，也就是可以写成下面的格式（注意阻抗矩阵是对称的）：

$$\begin{equation} Z^{ABC} = \begin{bmatrix} Z_s & Z_m & Z_m\\ Z_m & Z_s & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s \end{bmatrix} \end{equation}$$

代入上面的公式，可以得到：

$$\begin{equation} Z^{012} = \begin{bmatrix} Z_s+2Z_m & 0 & 0\\ 0 & Z_s-Z_m & 0 \\ 0 & 0 & Z_s-Z_m \end{bmatrix} \end{equation}$$

这是非常关键的结论，对称分量的理论可以将设备解耦，从而变成互相解耦的正序、负序、零序，从而大幅度简化电力系统分析计算。当然，从数学角度来说，这是把对称矩阵对角化，对角元就是特征值（也就是正序、负序、零序的阻抗值）。这里顺便插一句，电力系统分析中的潮流计算，并不是简单的用单相代替三相，而是用解耦的正序代替三相。同样，对称分量法并不是只能用于故障分析，稳态潮流照样是通用的。

假设元件的三相参数是不一致的（这是一般情况），下面仅分析三相参数不等的导纳矩阵的情况（阻抗矩阵这里篇幅所限就略去了，感兴趣的读者可以自行推导）。

假设我们忽略相间耦合，则不对称的三相设备可以建模为下面的导纳矩阵：

$$\begin{equation} Y^{ABC} = \begin{bmatrix} Y_A & 0 & 0\\ 0 & Y_B & 0 \\ 0 & 0 & Y_C \end{bmatrix} \end{equation}$$

进一步得到：

$$\begin{equation} Y^{012} = \begin{bmatrix} Y_s & Y_m & Y_n\\ Y_n & Y_s & Y_m \\ Y_m & Y_n & Y_s \end{bmatrix} \end{equation}$$

其中有：

$$Y_s = \frac{1}{3}(Y_A+Y_B+Y_C)$$

$$Y_m = \frac{1}{3}(Y_A+a^2 Y_B+aY_C)$$

$$Y_n = \frac{1}{3}(Y_A+aY_B+a^2Y_C)$$

由上面的推导可以看出，假设电源是完全对称的，只有正序分量，没有零序和负序分量，仅仅是由于元件三相参数不一致，就可以产生零序电流、负序电流。这一点几乎是所有的教科书都不讲解或者一笔带过的，但这恰恰是实际工程中所不可忽略的现象。

3 推荐课程：《电力系统接地故障保护基础导论》

王宇波老师是一位经验丰富的配电网接地保护专家，他将多年的工程实践经验系统化整理为理论，并推出了《电力系统接地故障保护基础导论》视频课程。该课程深入挖掘并应用了对称分量法，特别是针对实际问题进行了深入的探讨，弥补了教科书的不足。课程还对复合序网理论进行了扩展，使其能够应用于配电网接地保护的各种工况，包括中性点经消弧线圈接地、不接地、直接接地、经（高低）阻抗接地等。

课程中的有一些观点，是我以前有过初步的认识，但没有仔细推导的，如：不接地系统是存在电容电流的，不可能不接地系统单相接地故障时可以推导出接地电流不存在。也就是说，零序网络不可能忽略对地电容的存在，这都是教科书忽略的。教科书的模型确实是理想化的，不符合实际工程的需求。但究竟如何在配电线路具体的故障分析计算中考虑电容电流，我以前并没有尝试过。还有一些观点确实是超过我的认知了，比如虚拟中性点的引入、以及接地变压器、消弧线圈、母线互感器等现场实际设备问题结合理论进行分析，这些都是我个人新学到的。

下面是这门课程的部分文案，仅供参考。我不能100%宣称这个课程准确无误、完全合理，何况我也没学完。但可以肯定的说，这门课程有相当多的合理成分与参考价值。

这门课程的关键点是对于线路电容电流的深入讨论。我这里补充几点我个人看法：

1. 电容的存在是普遍性的，只要是电力系统的分析，很难不考虑电容电流。即使是稳态和潮流计算，线路对地电容的影响也完全不可忽略。比如说，线路自然功率的计算；为什么超高压、特高压运行需要并联电抗；线路热备用的时候，为什么还会有电流，而且并不算很小。早在十几年前，我设计主站区域备自投系统的时候，其无电流判据就考虑了躲过热备用的电容电流值，避免把备用线路错判断成正常运行状态（主要判据当然还是开关刀闸遥信，这个是辅助判据）。哪怕是空载的母线，在拉开刀闸的时候，都还会拉出电弧出来，这个电弧本质是静电，但也是母线电容所蓄积的电荷。
2. 在有些场合，电容对于电力系统的分析计算的某些处理起到关键作用。比如说，中国电科院系统所PSModel刘文焯团队前段时间在中国电机工程学报发表的论文《电力系统电磁暂态仿真中异步电动机的机-网解耦模型》，就是利用异步电动机的补偿电容，再结合定子电感，构成贝杰龙模型，在电磁暂态仿真的数值求解层面，实现电动机与主网的天然解耦，提高数值稳定性。同步发电机虽然找不到专门的电容器设备，但是经过主变连接母线后，对地电容也是显著的。这样在发电机升压变压器的高压侧，我认为也可以实现类似的解耦。
3. 还有个例子，CPU的散热功率，可以通过电容-电阻串联电路模型，推导出来。我自己以前的文章《计算机系统之旅》介绍过，推导过程就不再引用。

4 例题解析：加深理解对称分量法

这个课程一直在应用对称分量法、电路定律（如基尔霍夫定律），很多推导不是那么简单轻松的。但是课程前几讲的例子不是难度很大，且很典型，是应用对称分量法的很好的习题。我这篇文章给出的解法都是与课程不一样的，是另外一种思路。因为我编写过大量的电力系统C++程序，对线性代数的应用很多，考虑问题优先从向量化、矩阵的角度出发。我的思路与课程给出的的讲解方法互相对照，也许会有更好的启发效果。

4.1 例题一：三相波形的三序分量计算

这是课程第3讲的截图，如下：

录波文件(comtrade格式)的相关实用化分析工具已经有很多了，有各种全面的功能。但对于工程技术人员来说，搞清楚基本功能的来龙去脉、原理是绝对有必要的。不仅是录波的实用化工具，对于仿真软件应该也是如此。关于这一道题目，作者使用的是对称分量法原始论文的方法，通过尺规作图，直接通过几何作图的方法求出。这个很像是牛顿《自然哲学的数学原理》那样通过经典几何学方法解决圆锥曲线问题。原方法对于锻炼思维能力是很有帮助的。

下面我尝试直接用复数和矩阵乘法来解决。

首先是计算有效值，用最大值除以根号2就可以得到，则ABC的有效值分别为：0.8；0.4；0.7。

然后是分析相位差，这里主要看关键点（例如最大值点）相差的时间，其中相位B与A的相差时间是4ms，相位C与B的落后时间是7.2ms，把时间换算成相位。就是假设系统频率是50Hz，则一个周波是20ms，对应$2\pi$的弧度。则可以计算出相位B与A的角度差是1.2566弧度；相位C与B的角度差是2.2619弧度。

下面通过矩阵乘法求出三序分量，如下：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} &= \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.8e^{0j} \\ 0.4e^{1.2566j} \\ 0.7e^{3.5185j} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0.0997e^{0.4230j} \\ 0.5914e^{-0.4253j} \\ 0.2651e^{0.8729j} \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation}$$

结果是：零序是0.0997；正序是0.5914；负序是0.2651（角度略去）。负序除以正序可以作为一种三相不平衡度度量，可以看出不平衡度是比较大的，同时零序是比较小的，这与波形的直观印象符合。通过矩阵运算，可以快速准确地计算出任意三相波形的三序分量。

4.2 例题二：相位测量误差导致的零序电流

这个可能不是课程内容，但课程作者（王宇波）多次在别的地方讨论过这一问题。在这里顺便讨论。我的推导与作者的思路可能不完全一致。

对于完全对称的三相电流，由于相位测量存在误差，因此算出来的结果，会增添无中生有的零序电流。下面用复数表示ABC三相电流，为简化起见，设定A相的相位测量误差是$\theta_A$。

首先设定有：$\theta=\omega t$

则零序分量的计算如下：

$$\begin{equation} \begin{aligned} I_0 &= I[e^{j(\theta + \theta_A)}+e^{j(\theta +\frac{2}{3}\pi)}+e^{j(\theta - \frac{2}{3}\pi))}]\\ &= Ie^{j(\theta + \theta_A)} -Ie^{j \theta} + I[e^{j(\theta )}+e^{j(\theta +\frac{2}{3}\pi)}+e^{j(\theta - \frac{2}{3}\pi))}]\\ &= Ie^{j(\theta + \theta_A)} -Ie^{j \theta} \\ &= I e^{j\theta}(e^{j\theta_A}-1) \\ &\approx j\theta_AI e^{j\theta} \end{aligned} \end{equation}$$

由此可以得到结论：A相相位测量误差，会导致零序电流的产生，这个零序分量的相位相对于A相偏移了90度。如果三相的相位全部都有误差，由于相位误差肯定是随机数，极大概率不会三相完全相等的（那样就互相抵消了），得到的零序电流是三相相位误差共同影响的结果。

4.3 例题三：不对称系统零序电压计算

这是课程第5讲的内容，也是很关键的公式。因为后面的课程还要多次引用这个公式。具体的题目如下图：

对于这一问题，由于已经忽略了负序，则零序电流可以求出来。之前我们已经给出了不对称的三相设备012导纳矩阵如何求解。因此可以得到：

$$\begin{equation} I_0 =Y_s V_0 + Y_m V_1 \end{equation}$$

同时，考虑到中性点的阻抗以3倍接入零序网络，同时考虑到零序电流方向，则有：

$$\begin{equation} I_0 = -\frac{1}{3} Y_n V_0 \end{equation}$$

两个方程联立，可以求出：

$$\begin{equation} V_0 = -\frac{(Y_A+a^2Y_B+aY_c)V_1}{Y_n+Y_A+Y_B+Y_C} \end{equation}$$

这个结果与视频课程完全一致。

4.4 例题四：三序电容的计算与分析

这是课程第6讲的内容，这也是很关键的内容，我认为绝大多数电力工程技术人员都没有彻底搞清楚这一问题。

模型如下图所示：

得到的结论如下图所示：

目标是求出三序电容阻抗，我的求解方法如下。

首先建立ABC三相的导纳矩阵。请注意导纳矩阵并不是潮流计算的专属，而是电路普遍适用的。

$$\begin{equation} Y^{ABC} = j\omega\begin{bmatrix} C_0+2C_m & -C_m & -C_m\\ -C_m & C_0+2C_m & -C_m \\ -C_m & -C_m & C_0+2C_m \end{bmatrix} \end{equation}$$

上式中，$C_m$是相间电容，$C_0$是对地电容。

下面求出$Y^{012}$矩阵，如下：

$$\begin{equation} \begin{aligned} Y^{012} & = T^{-1}Y^{ABC}T \\ & = j\omega\begin{bmatrix} C_0 & 0 & 0\\ 0 & C_0+3C_m & 0 \\ 0 & 0 & C_0+3C_m \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation}$$

由此可以得到结论，正序和负序电容是$C_0+3C_m$，零序电容是$C_0$，与课程的结论是完全一致的。这里面有个重要的推论：零序电容不包含相间电容。

5 典型错误分析

5.1 说明书引用

国内某企业的某说明书有下面的段落，先在这里引用如下：

三相耦合对地电容主要用于搭建$\pi$型集中线路参数。与接地的三相电容元件进行比较，其区别在于三相耦合对地电容存在 a, b, c 三相之间存在耦合。

数学模型如下：

$$i = C \frac{dv}{dt}$$

$C$ 为 3x3 的矩阵。如果三相对称结构或者均匀换位，则有：

$$C = \begin{bmatrix} C_s & C_m & C_m \\ C_m & C_s & C_m \\ C_m & C_m & C_s \end{bmatrix}$$

其中，$C_s$和$C_m$为自、互电容，与线路正序电容$C_1$、零序电容$C_0$的关系如下：

$$C_s = \frac{1}{3} (C_0 + C_1)$$

$$C_m = \frac{1}{3} (C_0 - C_1)$$

这里出现了典型的混淆和错误，我相信出类似问题的不止这一家企业。

5.2 问题分析

首先，按照上面的推导，有：$C_0 > C_1$，但是我们查阅线路参数(如下图)，发现所有的线路，都有： $C_0 < C_1$

回到之前的公式，最后得到了：正序电容为$C_0+3C_m$，零序电容为$C_0$，显然有$C_0 < C_1$，这是符合上面线路参数截图的。

企业的说明书给出的并不是导纳矩阵，而是阻抗矩阵的格式。对于阻抗来说，电容应该放在分母，而不是分子上。对于导纳矩阵来说，按照本人的推导，有下面的形式：

$$\begin{equation} Y^{ABC} = j\omega\begin{bmatrix} C_0+2C_m & -C_m & -C_m\\ -C_m & C_0+2C_m & -C_m \\ -C_m & -C_m & C_0+2C_m \end{bmatrix} \end{equation}$$

在这里，$C_0$相当于企业说明书中的$C_s$